Fonction exponentielle et logarithme

Exponentielle

• e^(a+b) = e^a × e^b, e^(−a) = 1/e^a, (e^x)' = e^x.
• e^x > 0 pour tout x, e⁰ = 1.

Logarithme népérien

• ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a.
• (ln x)' = 1/x sur ]0 ; +∞[, ln 1 = 0 et ln e = 1.
• ln et exp sont réciproques : ln(e^x) = x.

Exemples

• Résoudre e^x = 5 : x = ln 5 ≈ 1,609.

À retenir

• ⭐ ln n'existe que pour x > 0 : penser au domaine avant de résoudre.

Exercices corrigés

1. 1. e^0 = ?

   • 0
   • 1
   • e
   • ∞
   Voir la correction

   Réponse : 1. Par définition.

2. 2. ln(6) = ln 2 + … ?

   • ln 3
   • ln 4
   • ln 6
   • 3
   Voir la correction

   Réponse : ln 3. ln(2 × 3) = ln 2 + ln 3.

3. 3. Dérivée de f(x) = e^(2x) ?

   • e^(2x)
   • 2e^(2x)
   • 2x·e^(2x)
   • e^x
   Voir la correction

   Réponse : 2e^(2x). (e^u)' = u'·e^u avec u = 2x.

4. 4. Solution de ln x = 0 ?

   • 0
   • 1
   • e
   • aucune
   Voir la correction

   Réponse : 1. ln 1 = 0.