Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Conditionnelles

• P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A).
• Formule des probabilités totales : P(B) = P(A)P_A(B) + P(Ā)P_Ā(B).
• A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Loi binomiale

• n épreuves identiques et indépendantes, succès de probabilité p.
• P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
• Espérance E(X) = n·p.

Exemples

• 10 lancers d'une pièce équilibrée : E(X) = 10 × 0,5 = 5 piles attendus.

À retenir

• ⭐ Sur un arbre, la somme des branches d'un même nœud vaut 1.

Exercices corrigés

1. 1. P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1. P_A(B) = ?

   • 0,04
   • 0,25
   • 0,4
   • 0,5
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   Réponse : 0,25. 0,1 / 0,4 = 0,25.

2. 2. X suit B(20 ; 0,3). E(X) = ?

   • 3
   • 6
   • 9
   • 20
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   Réponse : 6. n × p = 20 × 0,3 = 6.

3. 3. A et B indépendants, P(A) = 0,5 et P(B) = 0,2. P(A ∩ B) = ?

   • 0,1
   • 0,2
   • 0,7
   • 0,25
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   Réponse : 0,1. Produit des probabilités.

4. 4. Sur un arbre, les branches partant d'un nœud ont pour somme…

   • 0
   • 0,5
   • 1
   • n
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   Réponse : 1. C'est une loi de probabilité.