Dérivation et variations

Formules de base

• (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x².
• (u + v)' = u' + v', (ku)' = k·u', (uv)' = u'v + uv'.
• (u/v)' = (u'v − uv') / v².

Variations

• f' > 0 sur un intervalle ⇒ f croissante sur cet intervalle.
• f' s'annule en changeant de signe ⇒ extremum local.
• Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).

Exemples

• f(x) = x³ − 3x : f'(x) = 3x² − 3, s'annule en −1 et 1.

À retenir

• ⭐ Un tableau de variations se justifie toujours par le signe de f'.

Exercices corrigés

1. 1. Dérivée de f(x) = 3x² + 5x − 2 ?

   • 6x + 5
   • 3x + 5
   • 6x² + 5
   • 6x − 2
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   Réponse : 6x + 5. On dérive terme à terme.

2. 2. Dérivée de f(x) = 1/x ?

   • 1/x²
   • −1/x²
   • ln x
   • −x
   Voir la correction

   Réponse : −1/x². Formule usuelle.

3. 3. Si f'(x) < 0 sur ]0 ; 3[, alors f est…

   • croissante
   • décroissante
   • constante
   • nulle
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   Réponse : décroissante. Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

4. 4. Tangente à f en a de coefficient directeur…

   • f(a)
   • f'(a)
   • a
   • 1/f'(a)
   Voir la correction

   Réponse : f'(a). La dérivée est le coefficient directeur de la tangente.